제곱해서 음수가 되는 수 ‘i’, 존재하지 않는 수가 우리 세상을 지배하는 이유 🤯

서론: 당신이 버렸던 그 수학 공식, 세상을 움직이고 있었습니다

안녕하세요. 학창 시절, 수학 시간에 처음으로 ‘허수(i)’를 만났던 순간을 기억하십니까? ‘제곱하면 -1이 되는 수’라는 정의는 기존에 우리가 알던 수의 체계를 뒤흔드는, 도무지 현실에 존재할 것 같지 않은 개념이었습니다. 대부분의 사람들에게 허수는 시험 문제를 풀기 위한 추상적인 기호일 뿐, 실생활과는 아무런 관련이 없는 ‘상상 속의 수’로 기억되고는 합니다. 그러나 만약 이 ‘존재하지 않는 수’가 없었다면, 우리가 지금 누리고 있는 현대 문명의 상당 부분이 불가능했다면 믿으시겠습니까?

오늘은 수학 역사상 가장 기이하고 이질적인 존재로 취급받았던 허수 ‘i’가 어떻게 냉대와 조롱을 딛고 현대 과학과 기술의 심장부로 자리 잡게 되었는지, 그 경이로운 여정을 EBS 다큐프라임 ‘넘버스’ 5부, ‘천공의 수, i’를 통해 깊이 파헤쳐 보겠습니다.

1. 조롱과 냉대 속에서 태어난 ‘상상의 수’

허수의 등장은 필연적이었습니다. 16세기 이탈리아 수학자들은 3차 방정식의 해법을 찾는 과정에서 제곱근 안에 음수가 들어가는 기묘한 상황과 마주하게 되었습니다. 당시 수학자 카르다노는 이를 계산 과정에서만 나타나는 유령 같은 존재로 취급했지만, 분명히 계산을 끝까지 마치기 위해서는 이 정체불명의 수를 인정해야만 했습니다. 하지만 당시의 수학자들에게 ‘제곱해서 음수가 되는 수’는 논리적 모순이자 받아들일 수 없는 개념이었습니다.

이러한 혼란은 17세기 철학자이자 수학자인 르네 데카르트에 의해 ‘허수(Imaginary Number)’라는 이름으로 굳어집니다. 이는 결코 긍정적인 의미가 아니었습니다. 데카르트는 이 수를 ‘상상 속에나 있을 법한 쓸모없는 수’라며 조롱의 의미를 담아 명명했던 것입니다. 이처럼 허수는 태생부터 수학계의 이단아, 혹은 유령 같은 존재로 취급받으며 수백 년간 제대로 된 수로 인정받지 못했습니다.

2. 패러다임의 전환: 양자역학과 우주를 설명하는 열쇠

수백 년간 수학자들의 머릿속에서만 맴돌던 허수의 위상은 20세기 초, 물리학의 혁명이 시작되면서 극적으로 변하기 시작했습니다. 원자보다 작은 미시 세계를 탐구하는 양자역학이 등장하면서, 기존의 물리학 법칙으로는 설명할 수 없는 현상들이 발견되었습니다. 과학자들은 입자의 상태를 파동 함수로 기술했는데, 이 파동 함수를 완성하는 데 허수 ‘i’가 필수적인 요소임이 밝혀진 것입니다.

허수가 포함된 슈뢰딩거 방정식을 통해서만 전자의 기묘한 움직임과 불확실성으로 가득 찬 미시 세계를 정확하게 기술할 수 있었습니다. ‘상상 속의 수’가 이 세상의 가장 근본적인 물질 세계를 설명하는 핵심 도구가 된 역설적인 순간이었습니다.

우주의 기원을 향한 위대한 여정

허수의 영향력은 가장 작은 세계를 넘어 가장 거대한 영역, 즉 우주로까지 확장되었습니다. 20세기 최고의 물리학자로 꼽히는 스티븐 호킹과 로저 펜 로즈는 우주가 어떻게 시작되었는지를 설명하기 위해 일반 상대성 이론과 양자역학을 결합하는 과정에서 허수의 개념을 도입했습니다. 그들은 ‘허수 시간’이라는 개념을 통해 우주가 특이점 없이, 무(無)의 상태에서 양자적 요동으로 탄생했을 수 있다는 가설을 제시했습니다. 이는 우주의 기원이라는 인류의 근원적인 질문에 답하기 위해 ‘존재하지 않는 수’를 사용해야만 했다는 점에서 수학의 심오함을 보여주는 대표적인 사례입니다.

이처럼 허수는 더 이상 수학자들의 지적 유희가 아니었습니다. 눈에 보이지 않는 양자의 세계부터 태초의 우주까지, 현실 세계의 본질을 이해하기 위한 필수불가결한 언어가 된 것입니다.

3. 허수 없이는 불가능한 현대 기술

허수의 활약은 순수 과학에만 그치지 않습니다. 놀랍게도 우리가 매일 사용하는 수많은 현대 기술들이 허수라는 수학적 기반 위에 세워져 있습니다. 대표적인 예가 바로 비행기입니다.

• 비행기 날개 설계: 공기가 날개 주변을 어떻게 흘러가는지(유체 역학)를 계산하고 시뮬레이션하는 과정은 매우 복잡합니다. 이때 허수를 포함하는 복소수 해석을 사용하면 2차원 평면의 복잡한 공기 흐름을 훨씬 효율적이고 정확하게 분석할 수 있습니다. 덕분에 더 안전하고 연료 효율이 높은 비행기 날개를 설계하는 것이 가능해졌습니다.
• 스마트폰과 통신 기술: 우리가 사용하는 스마트폰, 와이파이, LTE 등 모든 무선 통신은 전파를 이용합니다. 이 전파는 진동하는 파동의 형태인데, 파동의 진폭과 위상을 동시에 표현하고 분석하기 위해 허수가 포함된 복소수가 필수적으로 사용됩니다. 허수가 없었다면 복잡한 신호를 처리하고 데이터를 안정적으로 주고받는 현대 통신 기술 자체가 성립하기 어려웠을 것입니다.

결국, 데카르트가 ‘상상 속의 수’라며 조롱했던 바로 그 개념이 하늘을 나는 비행기를 만들고, 전 세계를 하나로 연결하는 통신망을 구축하는 핵심 기술이 된 셈입니다. 존재하지 않을 것 같았던 추상적인 개념이 가장 현실적이고 실용적인 문제들을 해결하는 기반이 된 것입니다.

결론: 상상이 현실을 만드는 수학의 힘

허수 ‘i’의 역사는 우리에게 중요한 통찰을 줍니다. 당대에는 이해할 수 없고 쓸모없어 보였던 순수한 지적 호기심과 추상적인 개념이, 세월이 흘러 인류의 지평을 넓히고 세상을 바꾸는 가장 강력한 도구가 될 수 있다는 사실입니다. 조롱받던 ‘상상의 수’가 양자역학, 우주론, 그리고 최첨단 공학의 언어가 된 것처럼 말입니다.

이는 수학이 단순히 숫자를 계산하는 학문이 아니라, 인간의 논리적 상상력을 최대로 확장하여 아직 우리가 보지 못하는 세계의 구조를 미리 탐험하는 위대한 여정임을 보여줍니다. 어쩌면 지금 이 순간에도 누군가의 머릿속에서 탄생한, 쓸모없어 보이는 또 다른 ‘허수’가 미래 인류의 문명을 뒤바꿀 씨앗이 될지도 모릅니다. 여러분께서는 학창 시절에 배웠던 수학 개념 중, 허수처럼 나중에 그 진정한 가치와 중요성을 깨닫고 놀랐던 경험이 있으신가요? 여러분의 소중한 경험을 댓글로 공유해 주시기 바랍니다.